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In mwawtopologia una mwbacompattificazione è un processo mediante cui uno mwbqspazio topologico viene esteso in modo da renderlo mwbgcompatto. Questa operazione può essere ottenuta con diversi metodi a seconda delle proprietà che vengono richieste per lo spazio compatto che si vuole ottenere; ciascun metodo di compattificazione porta generalmente ad ottenere spazi diversi a partire dal medesimo spazio iniziale. La compattificazione di uno spazio consente di utilizzare le numerose proprietà degli spazi compatti, da cui talvolta poi è possibile dedurre proprietà degli spazi di partenza.

• Tipi di compattificazione

• Compattificazione di Alexandroff

• Compattificazione di Stone-Čech

• Compattificazione della retta reale

• Spazi proiettivi e spazi euclidei

• Bibliografia

• Voci correlate

• Collegamenti esterni

Intuitivamente tutti i metodi di compattificazione sono basati sul principio di controllare la "fuga all'infinito" tipica degli spazi non compatti, per cui esiste sempre un mwcgricoprimento aperto che non è possibile ricondurre ad un ricoprimento finito; le usuali tecniche di compattificazione controllano questa fuga aggiungendo opportunamente dei "punti all'infinito", mwcwimmergendo lo spazio di partenza in un altro spazio compatto in modo da costituire un mwdasottospazio mwdqdenso.

Compattificazioni di particolare interesse sono quelle in cui lo spazio compatto che si ottiene è di mwdwHausdorff; poiché ogni spazio compatto di Hausdorff è anche di mweaTychonoff e ogni sottospazio di uno spazio di Tychonoff è anch'esso di Tychonoff, segue che ogni spazio che possiede una compattificazione di Hausdorff deve essere di Tychonoff; inoltre, usando la mweqcompattificazione di Stone-Čech si dimostra anche l'inverso, ovvero che ogni spazio di Tychnoff possiede una compattificazione di Hausdorff.

La compattificazione di Alexandroff è la più semplice forma di compattificazione di uno spazio topologico. È ottenuta aggiungendo allo spazio stesso un solo punto, detto mwfqpunto all'infinito, e considerando come mwfgaperti tutti gli insiemi che contengono il punto all'infinito e il cui mwfwcomplementare è compatto.

Dato uno spazio topologico mwgw X {\displaystyle X} di Tychonoff, la compattificazione di Stone-Čech mwha β β X {\displaystyle \beta X} è caratterizzata dalla proprietà universale per cui ogni mwhqfunzione continua mwhg f : X → → K {\displaystyle f:X\rightarrow K} può essere estesa in un unico modo ad una funzione continua mwhw f ¯ ¯ : β β X → → K {\displaystyle {\bar {f}}:\beta X\rightarrow K} . Inoltre mwia β β X {\displaystyle \beta X} è anche il più grande spazio in cui è possibile estendere mwiq f {\displaystyle f} ; in questo senso la compattificazione di Stone-Čech è la compattificazione più grande possibile di un dato spazio, in contrapposizione a quella di Alexandroff, che è la più piccola possibile.

La mwjaretta reale, con l'ordinaria topologia derivata dalla mwjqmetrica euclidea, non è uno spazio compatto in quanto è mwjgillimitata; la compattificazione di Alexandroff della retta è ottenuta aggiungendo un punto all'infinito mwjw ∞ ∞ {\displaystyle \infty } che diventa il limite di qualunque mwkasuccessione reale che, in modulo, tende all'infinito.

Lo spazio compatto così ottenuto è mwkgomeomorfo alla mwkwcirconferenza. L'omeomorfismo è ottenuto nella maniera seguente: fissata una origine sulla circonferenza, ogni altro punto della circonferenza è individuato dall'mwlaangolo al centro che ha come estremi il punto e l'origine, con la convenzione di esprimere gli angoli in mwlqradianti nell'mwlgintervallo aperto mwlw ( − − π π , π π ) {\displaystyle (-\pi ,\pi )} ; la corrispondenza

mwmg f : C 1 → → R θ θ ↦ ↦ tan ⁡ ⁡ θ θ {\displaystyle {\begin{matrix}f:&C^{1}&\rightarrow &\mathbb {R} \\&\theta &\mapsto &\tan \theta \end{matrix}}}

è l'omeomorfismo cercato; essa mappa ogni punto della circonferenza in un punto della retta, tranne il punto corrispondente a mwna θ θ = π π 2 {\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{2}}} , per cui la funzione mwnqtangente non è definita, che è associato al punto all'infinito.

Intuitivamente questa compattificazione corrisponde ad "accorciare" la retta facendola coincidere con l'intervallo mwnw ] − − π π , π π [ {\displaystyle ]-\pi ,\pi [} , quindi ad incollare gli estremi dell'intervallo stesso aggiungendo il punto all'infinito. Lo spazio ottenuto è inoltre omeomorfo allo mwoaspazio proiettivo mwoq R P 1 {\displaystyle \mathbb {RP} ^{1}}

Un'altra compattificazione della retta si ottiene aggiungendo due punti all'infinito, mwow + ∞ ∞ {\displaystyle +\infty } e mwpa − − ∞ ∞ {\displaystyle -\infty } ; lo spazio compatto che si ottiene in questo caso è omeomorfo all'intervallo chiuso mwpq [ − − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]} .

Come visto sopra, lo spazio proiettivo mwqa R P 1 {\displaystyle \mathbb {RP} ^{1}} è la compattificazione della retta reale; più in generale, lo spazio proiettivo mwqq R P n {\displaystyle \mathbb {RP} ^{n}} può essere visto come la compattificazione dello mwqgspazio euclideo mwqw R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} . La compattificazione si ottiene aggiungendo ad ogni mwradirezione in mwrq R n {\displaystyle R^{n}} , identificata da una coppia di mwrgversori opposti, un punto all'infinito. Tranne che nel caso mwrw n = 1 {\displaystyle n=1} , questa compattificazione non è di Alexandroff.

È anche possibile compattificare gli spazi complessi; la compattificazione di mwsq C {\displaystyle \mathbb {C} } è lo spazio proiettivo complesso mwsg C P {\displaystyle \mathbb {CP} } che è identificabile con la mwswsfera di Riemann.

L'utilizzo degli spazi proiettivi è molto frequente in mwtqgeometria algebrica perché l'aggiunta dei punti all'infinito rende più semplice la formulazione di numerosi teoremi; ad esempio due rette non coincidenti nel piano proiettivo mwtg R P 2 {\displaystyle \mathbb {RP} ^{2}} si intersecano sempre in un punto, a differenza delle rette mwtwparallele del mwuapiano euclideo.

Con le opportune precisazioni gli spazi proiettivi possono essere generalizzati anche agli mwuganelli dotati di topologia: ad esempio il corpo dei mwuwquaternioni mwva H {\displaystyle \mathbb {H} } può essere compattificato tramite la sua mwvqretta proiettiva che è omeomorfa a mwvg S 4 {\displaystyle S^{4}} .

• Marco Manetti, mwwwTopologia, Springer, 2008. ISBN 978-88-470-0756-7.

• mwxgWalter Rudin, mwxwReal and Complex Analysis, McGraw-Hill, 1970

• mwywProiezione stereografica, per la compattificazione ad un punto di mwza R {\displaystyle \mathbb {R} } e mwzq C {\displaystyle \mathbb {C} }

• mwaq(EN) mwagCompactification da mwawMathWorld